47 Geometri Analitik RuangGaris lurus 2x  y  4  y  2z   3z  4  2x  5z  8  0 ..................... *memotong g1 dan g 2 untuk setiap  dan .karena melalui 2,1,1 * 1    0 dan 1   0, atau   1,   1. yang kita subsitusikan x  y  z   2z  4, merupakan persamaan yang Jarak Antar Dua Garis Lurus g1 dan g2 1. Bila g1 dan g2 sejajar , untuk menghitung jaraknya dapat dilakukan sebagai berikut - Pilihlah sembarang titik p pada g1 - Buatlah bidabg rata W melalui P dan tegak lurus g1, yang dengan sendirinya juga tegak lurus g2 - Tentukan Q titik tembus g2 pada W - Panjang PQ adalah jarak g1 dan g2 2. Bila g1 dan g2 bersilangan, dapat dilakukan sebagai berikut - Buat bidang rata W yang melalui g1 dan sejajar g2 - Pilih sembarang titik P pada g1 - Tentukan jarak P ke bidang W, merupakan jarak g1 dan 26 1. Tentukan jarak garis lurus g1 x  2  y  z  2 x  y  4  z  8 , dan g2 231 23 1 Penyelesaian g1 // g2Geometri Analitik Ruang 48pilihlah P 2,0,2 pada g1persamaan bidan W melalui P dan tegak lurus g1W = 2 x  2 + 3 y  0 + z  2= 02x + 3y + z – 6 = 0…………………………*Mencari titik Q, yaitu titik terbus g1 pada W g2 dapat ditulis dalam persamaan parameter x = 2  , y = 4 + 3  , z = 8 +  …………………**dan subtitusinya ke * 22  + 34 + 3  + 8 +  – 6 = 0 14  + 14 = 0    1Jadi Q-2, 1, 7 berarti jarak g1 dan g2 adalah PQ   2  2 + 1 02  7  22  = 422. Tentukan jarak dan persamaan garis hubung terpendek dari sumbu Z kegaris lurus g2 x = -y + 1 = -z Penyelesaian Sumbu Z mempunyai persamaan g1 x = 0, y = 0, dan garis g2 x + z = 0, x + y – 1 = 0; bidang W melalui titik g1 berbentuk x +  y = 0 dan // g2 yang arahnya 1 1 1 01 10 11 0 11 Berarti [ 1, ,0 ] . 1,1,1  0    1jadi W = x + y = 0 ; pilih sembarang titik P pada g2,ambil x = 0  z  0 , dan y = 1 atau P 0,1,0    0jarak ke W = 0 adalah d =   12  12  02 =1 1 2 2 249 Geometri Analitik Ruangg3 adalah garis hubung terpendek g1 dan g2, yang dapat dicari sebagai berikut bidang U melalui g2 dan tegak lurus W  x  y  x  y 1  0  1 x  y  z    0, serta 1 ,,1.1,1,0  0     1 . berarti 2 U= 1  1  Z  1  0 atau x – y + 2z + 1 = 0 2X 2Y 2Titik tembus sumbu Z pada U x = 0, y = 0, z =1  0,0, 1 2 2 g1 melalui R dan vector arahnya = normal dari W berarti g3 x, y, z  0,0. 1  1,1,0 atau 2x = y, z= 1 Jarak Sebuah Titik ke Sebuah Garis Lurus Jarak p x1, y1, z1  ke garis g dapat kita cari sebagai berikut - Buat bidang W melalui p tegak lurus g - Cari titik Q, titik tembus g pada W. - Garis PQ dalah suatu garis yang tegak lurus g dan melalui titik P sehingga panjang PQ adalah jarak titik P ke garis gContoh 27 Tentukan jarak titik 1,0,2 ke garis x = y = z PenyelesaianBidang W yang melalui 1,0,2 dan tegak lurus x = y = z adalah1 x  y + 1 y  0 1z  2  0  x  y  z  3  0 ………………*Geometri Analitik Ruang 50 Ttik tembus garis g pada W dpiperoleh dengan mensubsitusikan x = y = z =  ke *    1 atau titik tembus Q 1,1,1. jadi PQ = 112  1 02  1 22  2 adalah jarak yang diminta Catatan Mencari persamaan garis h yang melalui titik P x1, y1,z1  serta memotong tegak lurus g dengan persamaan x, y, z =x2, y2,z 2  + a,b, c. Misalkan Q pada garis g berarti kordinat Q x2 a, y 2b,z 2c. Vector PQ = x2 a x1, y 2b  y1,z 2c z1  merupakan arah garis h h sebagai contoh, kita hendak memecahkan contoh 3 diatas, ambil Q , ,   pada g, vector PQ=  1,,  2, PQ tegak lurus arah g, yaitu 1,1,1berarti  1    1  0 atau   1 Titik Q 1,1,1 dan jarak P ke garis g = PQ = 1  12  1  02  1  22 = Perpotongan Tiga Bidang Rata Pandang tiga bidang rata V1 = A1x + B1y + C1z + D1 V2 = A2x + B2y + C2z + D2 V3 = A3x + B3y + C3z + D3 V1, V2 dan V3 tidak ada yang sejajar, terdapat tiga kemungkinan kedudukan ketiga bidang tersebut 1. hanya mempunyai satu titik persekutuan membentuk jaringan bidang , 2. mempunyai satu garis lurus persekutuan membentuk berkas bidang ,51 Geometri Analitik Ruang 3. membentuk satu prima segitigapandang bahwa V1 danV2 tidak sejajar. Garis potong V1 dan V2 yaitu g mempunyai arah   D1 B1 A1  D1   D2 B2 , A2  D2 ,0    n1  n2 = A1 ,B1,C1  A2 ,B2 ,C 2 dan melalui titik P  A1 B1 A1 B1    A2 B2 A2 B2 maka V1 = 0. V2 = 0. V3 = 0 membentuk prisma sisi tiga jika g // V3 g tidak terletak pada V3.Berarti n1n2 .n3  0 atau bila  A3 B3 C 3   A1 B1C1     A1 B1 C 1    A 2 B 2 C 2   0 …………………38 A2 B 2 C 2   A3 B3 C 3 dan misalkan titik P terletak pada V3 = 0, berarti tidak terpenuhi hubungan Atau tidak memenuhi  D1 B1 A1  D1A3 = D2 B2  A2  D2  C3 0  D3 0 A1 B1 A1 B1 A2 B2 A2 B2 A1 B1 C1 D1atau tak memenuhi A2 B2 C2 D2 = 0 ……………………….39 A3 B3 C3 D 3Jadi - Ketiga bidang rata membentuk suatu berkas bidang rata, jika terpenuhi persamaan 38 dan 39 - Ketiga bidang rata membentuk suatu prisma sisi tiga jika terpenuhi persamaan 38 dan 39Geometri Analitik Ruang 52 - Dalam hal lain, membentuk jaringan. Contoh 28 Tentukan bahwa bidang x  y  z  3  0, 3x  y  2z  2  0 dan 2x  4y  7z  7  0 membentuk prisma segitga. Penyelesaian Persamaan 38 terpenuhi, yaitu 111 3 1 - 2  0 sedangkan persamaan 39 24 7 11 3 3 1 - 2  40  0, tidak terpenuhi. 24 Soal-soal dan Pemecahannya 1. Tentukan persamaan bidang rata melalui titik P 2,2,1 dan Q 9,3,6 serta tegak lurus bidang V 2x + 6y + 6z = 9 ! Penyelesaian Misalkan persamaan bidang W Ax + By + Cz + D = 0, Melalui titik P2,2,1  2A + 2B + C + D = 0 …………………………..1 Melalui titik Q9,3,6  9A + 3B + 6C + D = 0 …………………………2 Dan karena tegak lurus V, 2A + 6B + 6C = 0……...…………………..32 – 1 9A + 3B + 6C + D = 0 2A + 2B + C + D = 0 - 7A + B + 5C = 0 …………………………………………4Dan 4 – 3 7A + B + 5C = 0 x6 2A + 6B + 6C = 0 x142A + 6B + 30C = 053 Geometri Analitik Ruang 2A + 6B + 6C = 0 - 40A + 24C = 0 A = − 3 5Substitusikan nilai A ke persamaan 4 7− 3 + B + 5C = 0, diperoleh B = − 4 . 5 5substitusikan nilai A dan B ke ke persamaan 1 2− 3 + 2− 4 + C + D = 0, 5 5diperoleh D = 9 . 5jadi persamaan bidang yang dimaksud adalah − 3 x − 4 y + Cz + 9 C = 0, C = -5 5 5 5maka 3x + 4y – 5z – 9 = 02. Tentukan persamaan bidang rata yang melalui -1,3,2 serta tegak lurus bidang-bidangV1 = x + 2y + 2z = 5 dan V2 = 3x + 5y + 2z = 8 !Penyelesaian Bidang W yang diminta, melalui -1,3,2 berbentukAx + 1 + B y – 3 + C z – 2 = 0,W tegak lurus dengan V1 maka A + 2B + 2C = 0 ……………..1W tegak lurus dengan V2 maka 3A + 5B + 2C = 0 ……………22 – 1 diperoleh 2A + 3B = 0 atau A = -3/2 B .-3/2 Bx + 1 + B y – 3 – 1/4 Bz – 2 = 0, atau 6x – 4y + z + 16 = 03. Tunjukan bahwa garis lurus yang menghubungkan titik-titik P-1,-2,-3 dan Q1,2,-5 serta garis lurus yang menghubungkan R6,-4,4 dan S0,0,-4 saling jelas bahwa PQ = [2,4,-2] tidak sejajr denga RS = [-6,4,-8]. Selanjutnya akan ditunjukan bahwakeempat bidang tesebut sebidang. xQ  xP yQ  yP zQ  zP 2 4  2W xR  xP yR  yP zR  zP  7  2 7  0 yS  yP zS  zP 1 2 1 xS  xPGeometri Analitik Ruang 54 Jadi P,Q,R, dan S terletak pada suatu bidang PQ tidak sejajar dengan RS. Berarti garis melalui PQ berpotongan dengan garis melalui Tentukan persamaan bidang rata W melalui garis potong bidang V1 x  3y  z  7  0 dan V 2  2x  y  3z  5  0 serta tegak lurus bidang V 3  x  2 y  3z  7  0. Penyelesaian W melalui perpotongan V 1 dan V 2 berarti berbentuk berarti x  3y  z  7  2x  y  3z  5  0  1 2x   3  y  1 3z   7  5  0. Dan karena tegak lurus V 1 . Maka dot product 1 2. 3  .1 3.1,2,3  0  9  2    2 9 Jadi W 1 2. 29x  . 3  . 29y  .1 3. 29z   7  5. 29  0 Atau 13x  29 y 15z  73  05. Tentukan persamaan garis lurus yang memotong kedus garis lurusg1 2x  y 1  0  x  2y  3z dan g1 3xy  z  0  4x  5y  2z  3 sertag3 x  y  z. 2 3Penyelasaian Persamaan umum garislurus yang memotoing garis g1 dan g2 adalah 2x  y 1  x  2y  3z  0g3x  y  z  2  2x  y  2z  3  0Atau 2  x  1 2y  3z 1  0  V1  3  V2 3  4x  1 5y  1 2z  2Karena g sejajar dengan g3 berarti arahnya = [1,2,3], yang tegak lurus normal bidang g1 dannormal bidang g2 , berarti 2  .2  3.3  0     2355 Geometri Analitik RuangDan 3  4 .1   1  5 .2  1  2 3  0     1 2Maka persmaan garis lurus yang diminta adalah g 4x  7 y  6z  3   7 y  4z  7  06. Tentukan persamaan vektoris garis lurus hasil proyeksi tegak lurus g. [x,y,z] = [1,-1,2] pada 2,0,1 pada bidang rata W = 2x + 3y – z = Garis lurus g proyeksi P merupakan garis potong antara W dan V yang melalui g dan tegaklurus W.g x - 2z + 3 = 0. y = -1W berbentuk x  2z  3  y 1  0  x  y  2z  3    0V  W  2  3  2  0     43V  3x  4y  6z  5  0 W  2x  3y  z  0Jadi P V  3x  4 y  6z  5  0Yang arahnya g1 2  22  17 3 1 2 33 4 6 3 4 9Untuk menetukan sebuah titik pada P kita boleh mengambil titik tembus g pada W yaitudiperoleh dari subsitusi 21 2  31 0  2    0  31 atau titik potong3,1,37. Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P1,-2,-3, sejajar bidang rata V  2x  y  2z  0 menyilang tegak lurus g1 x  4z  1, y  3z  2. tentukan pula jarak dari awal sumbu ke garis Penyelesaian vektor arah g1 Geometri Analitik Ruang 5614 10 4 1 0 3001 1 3Misalkan vektor arah garis g = [a,b,c] karena g // bidang rata V a,b, c.2,1,2  0  2a  b  2c  0 ................................................................ *Dan tegak lurus g1  a,b, c.4,3,1  0  4a  3b  c  0 .................................. **Dengan menyelesaikan * dan ** diperoleh b = c dan a = 1 c . Karena g melalui 1,-2,-3, 2persamaannya [x,y,z] = [1,-2,-3] +  [ 12 c ,c,c] = 1,2,3 1,2,1Untuk mencari jarak titik O0,0,, k g, kita dapat buat bidang U melalui O0,0,0 tegak lurusg  U x  2y  2z  tembus U  1 2 2  2  2 3  2  0    tembus Q2,0,-1Jarak O ke g adalah OQ  22  02 12  Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P1,0,-1, terletak pada bidang V  x  3y  z  0 serta tegak lurus garis g1 x  2 y  z   3y  5z1 Penyelesaian Garis g hanya mungkin bila titik P terletak pada bidang W. Ternyata terpenuhi 1+ Jadi P terletak pada bidang V. Misalkan, vektor arah dari g a = [a,b,c], karena g terletak pada V berarti a tegak lurus vektor normal dari V,  a,b, c.1,3,1  0  a  3b  c  0 ........................ 1Vektor arah g1 17 72 1 1 22 3 5 5 3 7Karena g  g1 berarti a,b, c.7,7,7  0  a  b  c  0 ....................... 257 Geometri Analitik RuangDengan menyelesaikan persamaan 1 dan 2 diperoleh a  b, c  2b. dan karena gmelalui1,0,-1 persamaannya a,b,c  1,0,1  b,b,2b atau a,b,c  1,0,1 1,1,2.9. Tunjukan bahwa ketiga bidang rata V 1  2xy  z  3  0 , V 2  7x  5y  2z 12  0 , V 3  x  2y  3z  4  0 berpotongan hanya pada satu titik jadi membentuk jaringan bidang. Kemudian tentukan persamaan bidang W yang melalui titik potong tersebut dan sejajar pada bidang V 4  y  3z  4  0 . Penyelesaian 2 2 1 7 5  2  76  0 1 2 3Jadi titik potong di satu bidang melalui titik potong V1  V2  V3  0 atau 2x  y  z  3  7x  5y  2z 12  x  2y  3z  5  0 2  7  .x  1 5  2.y  1 2  3.z   3 12  5  0Karena //V4 berarti 2  7    0 serta 1 5  2.1  1 2  3  3dimana    4 dan    10 , 19 19W  y  3  4  0  19 y  57z  15  0 Soal-Soal Latihan 1. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan linier bidang rata melalui titik a 3,4,1, -1,-2,5, 1,7,1 b 3,1,4, 2,1,6, 3,2,4 c 3,2,1, 1,3,2, 1,-2,3 Penyelesaian a x, y, z  3,4,1  4,6,4  2,3,0,3x  2y  6z  32  0 b x, y, z  3,1,4 1,0,2 0,1,0,2x  z 10  0Geometri Analitik Ruang 58c x, y, z  3,2,1  2,1,1  2,4,2,3x  y  5z 16  02. Apakah empat titik berikut sebidang, jika sebidang tentukan persamaan liniernya a 2,1,3, 4,2,1, -1,-2,4, 0,0,5b 4,2,1, -1,-2,2, 0,4,-5,  1 , 1 ,0 2 2c 3,1,2, 4,-2,-1, 1,2,4, 1,2,1Penyelesaian a. Ya. 5x  4y  3z 15  0b. Ya. 11x 17 y 13z  3  0c. Tidak3. Tentukan hal-hal istimewa pada bidang-bidang rata berikut serta berikan gambarnya a x + y = 6 b 2x – z = 0 c 2y – 3z = 6 d X – 6 = 0 e 2x + 4y + 3z = 0 f 3x – 5y + 2z = 304. Tentukan persamaan linier bidang rata a Melalui 3,-2,-4 yang hotizontal b Sejajar su,bu Z memotong sumbu X positif sebesar 2, memotong sumbu Y negatif sebesar 3. c Melalui 3,-2,4 dan tegak lurus garis [x,y,z] = 2,2,3 d Melalui -1,2,-3 tegak lurus dan garis lurus yang melalui -3,2,4 dan 5,4,1 e Tegak lurus berpotonga garis P-2,2,-3 dan Q6,4,5 seerta melalui tengah-tengah PQ Penyelesaian a z + 4 = 0 b 3x – 2y – 6 = 059 Geometri Analitik Ruang c 2x + 2y – 3z + 10 = 0 d 8x + 2y – 3z = 0 e 4x + y + 4z – 15 = 0 5. Tentukan persamaan linier bidabg rata yang a Melalui -1,2,4 dan sejajar bidang rata 2x – 3y – 5z + 6 = 0 b Sejajar bidang rata 3x – 6y – 2z = 0 dan berjarak 3 dari titik asal 0,0,0 c Sejajar bidang rata 4x – 4y + 7z – 3 = 0 dan berjarak 4 dari titik 4,1,-2 Penyelesaian a 2x – 3y – 5z + 28 = 0 b 3x – 6y – 2z  21 = 0 c 4x – 4y + 7z + 38 = 0 6. Tentukan persamaan bidang rata a Melalui 3, –2,4 dan tegak lurus bidang rata 7x – 3y + z – 5 = 0 dan 4x – y – z + 9 = 0 b Melalui 4,–3,2 dan tegak lurus garis potong bidang rata x – y + 2z – 3 = 0 dan 2x – y – 3z =0 c Yang tegak lurus bidang rata 3x – y + z = 0 dan x + 5y + 3z = 0 serta berjarak 6 dari titik asal d Melalui titik 2,1,1 dan 3,2,2 serta tegal lurus bidang rata x + 2y – 5z = 0 Penyelesaian a 4x + 11y + 5z – 10 = 0 b 5x +7y + z – 1 = 0 c x + y – 2z  6 = 0 d 7x – 6y – z – 7 = 0 7. Tentukan titik potong ketiga bidang rata Geometri Analitik Ruang 60 a 2x – y – 2z = 5. 4x + y + 3z = 1. 8x – y + z = 5 b 2x + y – z – 1 = 0 . 3x – y –z + 2 = 0. 4x – 2y + z – 3 = 0 c 2x + 3y + 3 = 0. 3x + 2y – 5z + 2 = 0. 3x – 4z + 8 = 0 Penyelesaian a 32 ,4,3 b 1,2,3 c 32 ,2, 128. Suatu bidang rata memotong sumbu-sumbu koordinat titik A, B dan C sedemikian sehingga titik berat segitiga ABC adalah titik a,b,c tunjukan bahwa persamaan bidang rata tersbut adalah x y z 3 acc9. Tentukan persamaan bidang rata a melalui sumbu X dan tegak lurus bidang rata 2x – y – 3z = 5 b melalui garis potong bidang-bidang rata x + y + z = 6 dan 2x + 3y + 4z + 5 + 0 serta titik 1,1,1 c melalui garis potong bidang-bidang rata 2x – y = 0 dan 3z – y = 0 serta tegak lurus bidang rata 4x + 5y – 3z = 8 d melalui garis potong bidang-bidang rata ax + by + cz + d = 0 , a1x + b1y + c1z + d = 0 serta tegak lurus bidang XOY Penyelesaian a 3y – z = 0 b 20x + 23y +26z – 59 = 0 c 28x – 17y + 9z -0 d xac1  a1c  ybc1  b1c  dc1  d1c  010. Tentukan persamaan bidang rata yang a melalui titik 3,–3,1 dan tegak lurus garis lurus yamg menghubungkan titik 3,4,-1 dan 2,- 1,5.61 Geometri Analitik Ruang b membagi dua potongan garis lurus yang melalui 1,2,3, 3,4,5 dengan sudut siku-siku. Penyelesaian a x + 5y – 6z + 18 =0 b x + y + z = 9 c11. Tentukan jarak a titik -2,2,3 kebidan rata 2x + y – 2z = 4 b titik 0,2,3 ke bidang rata 6x – 7y – 6z + 22= 0 c bidang rata 2x – 2y + z + 3 = 0 dan 4x – 4y + 2z + 5 = 0 d bidang-bidang rata 6 x – 2y + 3z = 7 dan 6x – 2y + 3z = 9 Penyelesaian a 4 10 b 11 1 c 6 2 d 712. Buktikan bahwa bidang-bidang rata bagi bissectors dari bidang-bidang rata A1x + B1y + C1z + d2 = 0 dan A2x + B2y + C2z + d2 = 0 adalah A1x  B1 y  C1 y  D1   A2 x  B2 y  C2 y  D2A12  B12  C12 A2 2  B2 2  C2 2tanda  . Menunjukkan bidang bagi dalam atau bidang bagi luar. Tentukan bagi dalambidang-bidang rata x + 2y + 2z – 3 = 0 dan 3x + 4y + 12z + 1 = 0Pernyelesaian 11x + 19 y + 13z – 18 = 013. Tunjukan volume bidag empat yang dibatasi oleh bidang-bidang rata y + z = 0, z + x = 0, x  y  0 dan x + y + z = 1Geometri Analitik Ruang 62 2 Penyelesaian 314. Tunjukan bahwa bidang-bidang berikut merupakan sisi-sisi sebuah parallel epipedum 3x – y + 4z – 7 = 0, x + 2y – z + 5 = 0, 6x – 2y + 8z + 10 = 0, 3x + 6y – 3z – 7 = 015. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan-persamaan linier garis lurus melalui titik a 1,2,1, -2,3,2 b 1,-3,2, 4,1,0 c 1,0,2, 2,3,2Penyelesaian a [x,y,z]= [1,2,,1] +  [-3,1,1], x 1  y  2  z 1 3b [x,y,z]= [1,-3,2] +  x  1  y  3  z  2 [3,4,-2], 3 2c [x,y,z]= [1,0,2] +  [1,3,0], x – 1 = y  z  2 316. Tentukanlah vektor arah, kemudian persamaan vektoris garis lurus perpotoongan bidang-bidang rata a x – 2y + z = 0, 3x + t + 2z + = 7 b 2x + 3y – 2 = 0, y – 3z + 4 = 0 c x + 2z – 6 = 0 , y = 4 Penyelesaian a [x,y,z]  2,1,0  5,1,7 b [x,y,z]  7,4,0  9,6,2 c [x,y,z]  6,4,0  2,0,117. Tentukan koordinat titik tembus 63 Geometri Analitik Ruang a Garis lurus x 1  y  3  z  2 dan bidang rata 3x  4y  5z  5 32 b Garis lurus x – y – z + 8 = 0. 5x + y +z + 10 = 0 dan bidang rata x + y + z – 2 = 0 c Garis lurus yang melalui 2,-3,1, 3,-4,-5 dan bidang rata 2x + y + z = 7 Penyelesaian a. 1,3,-2 b. -3,3,2 c. 1,-2,718. Tentukanlah a jarak titik tembus garis lurus x  2  y  1  z  2 dan bidang rata x  y  z  5 3 4 12 ke titik -1,-5,-10 b tentukan pajang potongan garis dari 3,-4,5 ke bidang 2x + 5y – 6z = 19 yang diukur sepanjang garis lurus dengan vektor arah [2,1,-2] c carilah koordonat bayangan dari titik 1,3,4 pada bidang rata 2x – y + z + 3 = 0 Penyelesaian a 13 b 9 c -3,5,219. Tentukanlaha persamaan garis lurus melalui titik -1,3,2 dan tegak lurus x + 2y + 2z = 3, tentukan pula titik tembus garis tersebut pada bidang rata.b Tentukan koordinat titik tembus garis lurus yang ditarik dari titik asal. Tegak lurus bidang rata V = 2x + 3y – 6z + 49 = 0, pada V. Tentukan pula bayangan titik asalpada bidang rata x + y  y  3  z  2 ;  5 , 5 , 2  2 2 3 3 3Geometri Analitik Ruang 64b -2,-3,6, -4,-6,1220. Tunjukan bahwa kedua garis lurus berikut berpotongan, dan tentukan bidang yang memuat kedua garis tersebut. Serta titik potong kedua garis tersebut !a x  4  y  6  z 1  0 dan 3x – 2y + z + 5 = 0 = 2x + 3y + 4z – 4 3 52b x 1  y  1  z  10 dan x – 4  y  3  z 1 2 3 8 4 7c x 1  y  3  z  5 dan x  2  y  4  z  6 357 35Penyelesaiana 45x – 17y + 25z + 53 = 0. 2,4,-3b 11x – 6y – 5z – 67 = 0. 5,-7,6c X – 2y + z = 0. 1 , 1 , 3 2 2 221. Tunjukan bahwa kedua garis lurus ini sejajar. Hitung jaraknya !a x + 2y = 6, z – 2 = 0 dan z + 2y = 9, z = 0b x  7  y  z dan x  2  y 1  z 11 62 62Penyelesaian a 13b 16522. Tentukan persamaan bidang rata yang memuat garis-garis lurusa x  4  y  3  z  2 dan x  3  y  2  z 4 5 4 5b x = y = z dan x – 3= y +1 = zPenyelesaiana 11x – y - 3z = 3b X + 3y – 4z = 065 Geometri Analitik Ruang 23. Tentukan jarak a Titik 4,-5,3 ke garis lurus x  3  y  3  z  6 3 4 5 b Titik 5,4,-1 ke garis lurus x  8  y  z 2 95 Penyelesaian a 6 b 9924. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui P dan memotong tegak lurus g bila a P2,4,-1, g x  5  y  3  z  6 4 9 b P  2,2,3, g x  3  y 1  z  2 2 4 c P0,0,0, g x + 2y + 3z + 4 = 0 = 2x + 3y + 4z + 5 = 0 Penyelesaian a x  2  y  4  z 1 6 32 b x  2  y  2  z  3 61 c x  y  z 2 425. Tentukan persamaan garis yang memotong x  y  z 1  0  2x  y  z  2 danx  y  z  3  0  2x  4 y  z  4 serta melalui titik 1,1,1. Carilah titik potongnya !Penyelesaian x = 1, y 1  z 1 , 1, 1 , 1 , 1,0,2 2 2 326. Tentukan persamaan garis lurus yang Geometri Analitik Ruang 66 a Ditarik dari titik asal dan memotong garis-garis lurus 3x + 2y + 4z – 5 = 0 2x  3y  4z 1 dan 2x  4y  z  6  0  3x  4y  z  3 b Melalui 1,0,-1 dan memotong garis lurus x = 2y = 2z serta 3x  4 y   5z  2 Penyelesaian a 13x 13y  4z  0  8x 12 y  3z b  x 1  y  z  1 6927. Sebuah garis, sejajar garis x  2/ 7  y / 4  z dan memotong garis-garis x 1/ 3= y  7/1  z  2 serta x  3 / 3  y  3 / 2  z  5 / 4. tentukanlah titik-titik potong tersebut ! Penyelesaian 7,5,0; 0,1,128. Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar x / 2  y / 3  z / 4 dan memotong garis-garis lurus 9x + y + z + 4 = 0 = 5x + y + 3z serta x + 2y – 3z – 3 = 0 = 2x – 5y + 3z + 3 ! Penyelesaian x 1 / 2  y / 3  z / 429. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik -4,3,1 sejajr x + 2y – z = 5 serta  x 1_/ 3  y  3 / 2  z  3 tentukan pula tiik potongnya ! Penyelesaian x  4 / 3   y  3  z 1.2,1,330. Tentukan persamaan garis lurus yang memotong tegak lurus garis y – 2z = 0 , x – 2z = 3 dan terletak seluruhnya pada bidang x + 3y – z + 4 = 0 Penyelesaian x 1 / 5  y  2 / 3  z 1 / 467 Geometri Analitik Ruang 31. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik 2,3,4 tegak lurus sumbu X dan memotong garis x = y = z ! Penyelesaian x = 2, 2y – z = 2 32. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik asal dan memotong garis lurus x  3 / 2  y  3  z denga sudur 60 0 ! Penyelesaian x  y/2  z  z /2 33. Tentukan jarak dan persamaan garis hubung terpendik garis-garis lurus a x  3 / 2  y 14 / 7  z  9 / 5 serta x 1 / 2  y 1 /1  z  9 / 3. b x  3 /1  y  4 / 2  z  2 /1 serta x 1 /1  y  7 / 3 z  2 / 2 c 5x – y – z = 0. x – 2y + z – 3 = 0 serta 7x – 4y – 2z = 0. x – y + z – 3 = 0 Penyelesaian a x  y  3 b x  4  y  2 / 3  z  3 / 5. 35 c 17x  20 y 19z  39  0  8x  5y  31z  x 75 34. Tentukan persamaan garis lurus yang memotog dengan sudut yang sama garis-garis lurus x  y  4 dan y  0, z  4 serta tegak lurus x = y = z. Penyelesaian x  2  y  8 / 2  z. 35. Bagaimana perpotongan tiga bidang rata berikut ? a 4x  5y  2z  2  0,5x  4y  2z  2  0,2x  2y  8z 1  0 b 2x  3y  z  2  0,3x  3y  z  4  0, x  y  2z  5  0 c 5x  3y  7z  2  0,3x  26 y  2z  9  0,7x  2y 10z  5  0 Penyelesaian Geometri Analitik Ruang 68 a prisma b titik jaringan bidang c garis lurus berkas bidangSoal-soal Tambahan 1. Tentukan volume dari bidang empat yang dibatasi bidang-bidang rata lx + my + nz= p, lx  my  nz  0. nz + lx = 0 Penyelesaian 2 p 33 lmn 2. Bidang-bidang rata dibuat sehingga sudutnya dengan garis lurus x = y = z adalah 600 dan sudutnya dengan gars lurus x  0 adalah 450. tujukan bahwa semua bidang-bidang rata itu memuat 60 0dengan bidang x = 0 3. Tentukan persamaan bidang rata yang melalui titik 0,1,1 dan 2,0,-1 serta garis lurus yang melalui titik -1,2,-2 dan 3,-2,4. Tentukan pula jarak antara garis lurus dan bidang rata. Penyelesaian 6x 10 y  z 11  137 4. Tunjukan bahwa bayangan garis lurus x – 1 = -9 y – 2 = -3z + 3 pada bidang rata 3x – 3y + 10z = 16 adalah garis lurus Penyelesaian x  4 / 9  y 1 /1  z  7 / 3 5. Tentukan persamaan garis lurus tyany melalui titik 3,1,2 memotong garis lurus x  4  y 1  2z  2 dan sejajar bidang rata 4x + y + 5z = 0. Penyelesaian x  3 / 3  y 1 / 2 z  2 / 2 6. Garis lurus x  7 / 3  y 10 / 3  z 14 / 8 adalah hipotenusa sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama kaki yang titik sudutnya 7,2,4. Tentukan persamaan kedua sisi yang lain ! penyelesaiaan69 Geometri Analitik Ruangx  7 / 3  y  2 / 6  z  4 / 2 dan x  7 / 2  y  2 / 3  z  4 / 67. Tentukan persamaan kedua garis lurus yang ditarik dari titik asal dan memotong garis lurus x  3 / 2  y  3  z dengan sudut  1 y  z, x  y  1 z 2 28. Tentukan garis lurus yang merupakan proyeksi tegak lurus garis garis lurus 3x  y  2z  1, x  2  z  2 ke bidang 3x  2y  z  0Penyelesaian  x 1 /11  y 1 / 9  z1 /159. Tunjukan bahwa bidang-bidang rata 2x + 3y + 4z = 6 , 3x + 4y + 5z = 2, x  2 y  3z  2 membentuk prisma, tentukanlah lusa dari perpanjangantegak lurusnya Penyelesaian  8 6 310. Segitiga dengan titik sudut 5,-4,3, 4,-1,-2, dan 10,-5,2 diproyeksikan tegak lurus ke bidang x – y = 3 tentukan koordinatdari titi-titik sudut dan luas segitiga hasil proyksi tersebut!Untuk soal-soal 11 sampai dengan 16, kubus ABCD-EFGH dengan rusuk = 4 di tempatkan di oktanseperti pada gambar11. Tentukan persamaan garis lurus yang memotong tegak lurus garis-garis BD dan CF Penyelesaian x+z=y=4Geometri Analitik Ruang 7012. Bila P titik tengah rusuk AE, tentukan persamaan garis lurus yang melalui P, memotong HF serta tegak lurus CF. Penyelsaian x  4  y / 3  z  2 13. Tentukan persamaan garis lurus yang bersudut sama besar dengan rusuk-rusuk AB dan EH, tegak lurus AG serta memotong EH dan DC ! Penyelesaian x  y  2 /1  z / 2. 14. Tentukan persamaan garis lurus yang berjarak 3 dari bidang BDE serta memotong EH dan CG ! Penyelesaian x01 /1  y / 4  z  4 / 5;x  7 / 7  y / 4  z  4 /11 15. Tentukan persamaan garis sejajar AG. Memotong BE di P dan CF di Q. Buktikan bahwa PQ merupakan garis hubung antara BE dan CF ! Penyelesaian 2x  y  z 12  0  x  2y  z  8  0 16. Tentukan pesamaan garis yang sejajar dengan bidang alas ABCD, memotong DE di P dan memotong BC di Q sedemikian hingga PQm = 2 5 Penyelesaian P3,0,3, Q1,4,3 ; PQ x  3  y / 2; z  3 dan P1,0,1 Q3,4,1; PQx – 1  y / 2; z  171 Geometri Analitik Ruang BAB III BOLA, SILINDER DAN Tempat Kedudukan di dalam Ruang Tempat kedudukan disingkat TK adalah himpunan titik-titik yang memnuhi syarat-syarat yang ditentukan. TK mungkin hampa  , satu titik berupa kurva garis lengkung /lurus,berupa permukaan surface/bidang ataupun seluruh ruang itu sendiri. Dalam menghadapimasalah TK kita mempunyai cara-cara menyelesaikan sebagaiberikut 1. Mengambil titik x0 , y0 , z0 sembarang pada TK, lalu mencari hubungan-hubungan yang diperoleh, variabel x, y, z dieliminasi sehingga didapat hubungan-hubungan antara x0 , y0 , z0 saja. Dengan menghapus indek nol dari hubungan tersebut dikatakan mejalankan titik x0, y0, z0 diperoleh TK yang 29 Tentukan TK titik-titik yang berjarak 4 dari bidang XOY serta jumlah kuadrat jaraknya ke1,0,0 dan -1,0,0 adalah tetap = 36Penyelesaian Ambil P ke x0 , y0 , z0 TK. Karena berjarak 4 dari bidang XOY bidang z = 0 maka z0  4 atau z0  4 ....................................... 1kuadrat jaraknya P ke 1,0,0 adalah x0 12  y02  z02dan kuadrat jarak P ke -1,0,0 adalah x0 12  y02  z02 .Sehingga jumlah kuadrat jaraknya = x0 12  y02  z02  x0 12  y02  z02 ,diketahui jumlah kuadrat jaraknya = 36. Atau x02  y02  z02  17 ................................2Dari kedua hubungan 1 dan 2 bebas dari variabel x, y, z sehinga dengan menghapusindeks nol, diperoleh TK z  4   x 2  y2  z2  17TK tersebut berbentuk sepasang lingkaran, Secara teori himpunan dapat kita tulis TK=   x, y, z z2  16 U x, y, z x2  y2  z2  17Geometri Analitik Ruang 722. Adanya / munculnya prameter. Dengan mengeliminasi parameter-parameter tersebut diperoleh TK yang dinyatakan . kalau terdapat n + 1 hubungan n buah parameter maka TK merupakan permukaan . kalau n + 2 hubungan dengan n buah parameter maka TK merupakan kurvaContoh 30 Tentukan TK titik dengan vektor posisinya vekotr a yang yang mempunyai persamaana = [x,y,z] = [1,t,t2] diman t suatu parameterPenyelesaian [x,y,z] = [1,t,t2] dapat ditiulis menjadi x = 1, y = = t, z = t2. terdapat tiga hubungan dengansebuah parameter, TK merupakan kurva peleyapan parameter menghasilkan x 1  z  y2TK tersebut berbentuk parabola .CatatanTitik dapat diwakili oleh vektor posisi titik tersebut. Hal ini memungkin kita menggunakan vektor 3. Pengambilan titik sembarang x0 , y0 , z0  pada TK disamping parameter yang ada/ muncul. Peleyapan parameter dan menjalankan x0 , y0 , z0 tersebut menghasilkan TK yang dinyatakanContoh 31 Sebuah garis lurus digerakkan sejajar y = 0 dan selalu memotong kurva-kurvaxy  4 dan C2 y2  8z tentukan TK-nyaC1 z  0  x  0Penyelesaian Ambil P x0 , y0 , z0  pada TK tersebut bila [a,b,c]merupakan arah garis diatas, diperolehpersamaan x  x0  a, y  y0  b, z  z0  c ............................ 1 suatu parameter, karena memotong C1 dengan eliminasi 1 terdapat hubunganx0  az0 / c.y0  bz0 / c  4 ................................................................................. 2Dan memotong C2 diperoleh y0  bx0 / a2  8z0  cx0 / a .................................. 3Karena 1 sejajar dengan y = 0 berarti b = Geometri Analitik Ruang  Eliminasi a, b, c dengan b = 0 dari 2 dan 3 menghasilkan y02 4  x0 z0  32z0 dan menjalankan x0 , y0 , z0  diperoleh TK suatu permukaan dengan persamaan y 2 4  xy  32z . Persamaan Bola Permukaan bola merupakan TK titik-titik ujung vektor didalam ruang yang titik awalnya tertentu dan panjang vektor tersebut konstan. Titik awal yang tertentu itu disebut titik pusat dan panjang yang konstan itu disebut jari-jari bola atau. Permukaan bola adalah TK titik-titik di dalam ruang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Misalkan, pusat bola Ma,b,c, jari-jari = r. Ambil titik P x0 , y0 , z0  pada bolamaka MP = QP – QM = x0  a, y0  b, z0  c panjang MP diketahui = r , berarti x0  a2  y0  b2  z0  c2  r 2 . Dengan menjalankan P. Diperoleh persamaan bola x0  a2  y0  b2  z0  c2  r 2 Sehingga bola yang pusatnya di 0,0,0, jari-jari r adalah x2  y 2  z 2  r umum persamaanx2  y 2  z 2  Ax  By  Cz  D  0Menyatakan persamaan bola. Secara simbolis ditulis bola S = 0. Dalam hal ini pusat A2 B2 14 C 2 1 A, 1 B, 1 C dan jari-jari  1  1   D 2 2 2 4 4Contoh 32 Tentuka jari-jari1. x2  y 2  z 2  8x 10 y  6z 1  02. 2x2  2 y 2  2z 2  2x  2 y  4z  3  0Penyelesaian 1. A = 8, B = -10, C = -6, D = 1Pusat -4,5,3, jari-jari r  1 8 2  14 10 2  14 6 2 1 4Geometri Analitik Ruang 74 =72. Diubah dahulu menjadi x2  y 2  z 2  x  y  2z 1 12  Pusat 2 14 1 2 12 2 2 12 , 1 ,1 , jari-jari  1 1    1 12  0 2 4 Jadi bola tersebut merupakan titik 1 , 12 ,1 2Catatan Pada persamaan x2  y 2  z 2  Ax  By  Cz  D  0 terdapat tiga kemungkinan terhadap1 A2  1 B 2  1 C 2  D, yaitu 4 4 4Bila r  0 bola tersebut adalah bola sejatiBila r = 0 bola berjari-jari nol titikBila r  0 bola merupakan boal khayalContoh 33 x2  y 2  z 2  2x  2 y  4z  20  0 merupakan bola khayal karena1 A2  1 B2  14 C 2  D  14 4 4CatatanPersamaan S = 0 mengandung empat parameter A,B,C dan D. Karenanya bola akan tertentu biladiketahui melalui empat titik, yang tidak sebidang. Secara diterminan persamaan bola melaluiempat titik.x1 y1, z1 , x2 y2 , z2 , x3 y3 , z3 , x4 y4 , z4  adalah x2  y2  z2 x y z 1 x12  y12  z12 x1 y1 z1 1 x22  y22  z22 x2 y2 z2 1  0 x32  y32  z32 x3 y3 z3 1 x42  y42  z 2 x4 y4 z4 1Atau dapat juga menghilangkan A,B,C dan D dari sistem persamaan linier dengan empatpersamaanContoh 34 Tentukan persamaan bola melalui 4 titik Pa,0,0. Q0,b,0. R0,0,c. Dan O0,0,075 Geometri Analitik RuangPenyelesaian Dengan determinan x2  y2  z2 x y z 1 a2  0 0 a 0 0 1 0  b2  0 0 b 0 1  0 atau 0 0 c2 0 0 c 1 000 0 0 0 1x2  y2  z2 x y z a 2 a 0 0  0 , kolom 1 dikurangi c kali kolom 4 b2 0 b 0 c2 0 0 cx 2  y 2  z 2  cz x y z a2 a 0 0  0 b2 0 b 0 0 00cx 2  y 2  z 2  cz x y a2 a 0  0 b2 0 bkolom 1 dikurangi b kali kolom 3x 2  y 2  z 2  cz x ya 2 a 0  0  x2  y 2  z 2  cz  by x a2 ab2 0 bAtau ax2  ay2  az2  acz  aby  a2 x  0 . Dibagi a  0x2  y 2  z 2  ax  by  cz  0 , bola yang permisalan x2  y 2  z 2  Ax  By  Cz  D  0Melalui titik 0 02  02  02  A0  B0  C0  D  0  D  0Melalui titik Pa,0,0a2  02  02  Aa  B0  C0  D  0  A  aMelalui titik Q0,b,0Geometri Analitik Ruang 76 02  b2  02  A0  Bb  C0  D  0  B  b Melalui titik R0,0,c 02  02  c2  A0  B0  Cc  D  0  C  c Jadi bola tersebut x2  y 2  z 2  ax  by  cz  0 Catatan Jelas dimengerti bila bola melalui titik awal 0,0,0 maka nilai D = Bola dan Bidang Rata Bola S = 0 berjari-jari r, pusat M. bidang P = 0, dengan d = jarak pusat M ke bidang. Hubungan bola dan bidang rata antara lain sebagai berikut 1. V memotong bola. Bila d r S=0 S=0 M Mdr rd V=0 V=0 S=0 M rdV=077 Geometri Analitik RuangContoh 35 Bagaimana kedudukan bola S = x2 + y2 + z2 + 2x + 4y + 4z – 16 = 0 dan bidangx + 2y + 2z = 0 ? Bila perpotongan, tentukan pusat dan jari-jari lingkaran perpotongannya!.Penyelesaian Jari-jari bola 1 4  1 16  1 16  16  544 4Pusat M -1,-2,-2d = jarak M ke nidang V = 0, yaitu d  11  22  22  3 12  22  22Ternyata d 0  Titik G pada bola  k = 0  Titik G di dalam bola  k 0 diperoleh dua harga  yang berbeda ada dua titik potongD = 0 diperoleh dua harga  yang kembar titik singgungD r1 + r2 2. Bersinggungan luar, bila d = r1 + r2 3. Berpotongan, bila r1 – r2 0, S/H 0, S/H > 0 elips khayal3 D 0 sepasang garis khayal2 D 0 12 13 3 1 2 11 22 23 = 1 2 1 = 8 ≠ 0H = 12 23 33 2 1 3 13S = 3 + 2 = 5, S/H > 0, suatu elips khayal. Jadi, KA tersebut khayal, tidak berubah corak. Konikoidatersebut salah satu elipsoida atau kerucut dapat menggolongkan konikoida menurut pusatnya, dengan menyelidiki rank matriks. 11 12 13 14 [ , ] = [ 12 22 23 24] 13 23 33 341 Bila rank matriks A = rank matriks [A, b] = 3. Diperoleh satu titik pusat. Hal mana terdapat para  Elipsoida nyata/khayal  Hiperboloida daun satu  Hiperboloida daun duaGeometri Analitik Ruang 94 Pada ketiga konikoida di atas, titik pusat tidak terletak pada permukaan konikoida, dengan kata lain fx1, y1, z1 ≠ 0  Kerucut nyata/khayal. Titik pusatnya terletak pada permukaan; fx1, y1, z1 = 02 Bila rank A = 2 sedangkan rank [A, b] = 3. Tidak diperoleh titik pusat titik pusat di tak terhingga. Hal mana terdapat pada paraboloida eliptik dan paraboloida Bila rank A = rank [A, b] = 2. Diperoleh TK titik pusat berupa garis lurus. Hal mana terdapat pada  Silinder eliptik nyata/khayal  Silinder hiperbolik  Sepasang bidang rata berpotongan nyata/khayal4 Bila rank A = 1 ≠ rank [A, b]. Diperoleh TK titik pusat berupa garis lurus di tak berhingga. Terdapat pada silinder Bila rank A = rank [A, b] = 1. Diperoleh TK titik pusat berupa bidang rata. Hal mana terdapat pada sepasang bidang rata sejajar atau berimpit nyata/khayal. Penyelidikan KonikoidaUntuk menyelidiki konikoida fx,y,z = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 213xz + 2a23yz + 2a14x + a24y +a34z + a44 = 0 .......................................................1dapat dilakukan sebagai berikut1. Golongan lebih dahulu berdasarkan keadaan titik pusatnya, salah satu dari 5 golongan, A, B, C, D, atau E di Bila termasuk C atau E, lakukan pengirisan dengan salah satu bidang koordinat yang tidak sejajar dengan garis/bidang TK titik pusata. Pada golongan E bila irisannya sepasang garis lurus sejajar, maka konikoida adalah sepasang bidang rata sejajar; bila irisannya sepasang garis lurus berimpit, maka konikoida adalah sepasang bidang rata Pada golongan C bila irisannya elips maka konikoida adalah silinder eliptik kalau elips khayal, maka silinder eliptik tersebut khayal. Bila irisannya hiperbola, maka konikoida adalah silinder hiperbolik. Bila irisannya berubah corak menjadi sepasang garis lurus berpotongan nyata/khayal, maka konikoida merupakan sepasang bidang rata berpotongan nyata/khayal.3. Golongan D hanya satu jenis silinder parabolik4. Golongan B, kemungkinannya paraboloida eliptik atau paraboloida hiperbolik. Untuk membedakannya kita selidiki kerucut arahnya. Bila kerucut arah yang berubah corak menjadi95 Geometri Analitik Ruang sepasang bidang rata berpotongan nyata maka konikoida adalah paraboloida hiperbolik. Dalam hal lain merupakan paraboloida Pada golongan A, bila pusatnya terletak pada konikoida ia merupakan kerucut. Bila tidak demikian, maka diselidiki kerucut arahnya. Kalau khayal maka konikoida adalah elipsoida. Kalau nyata, maka salah satu, giperboloida daun satu atau daun dua. Untuk membedakan, kita gunakan sifat bidang atur dari hiperboloida daun satu. Caranya sebagai berikut pilih sebarang titik pada hiperboloida. Buat bidang singgung di titik tersebut. Tentukan proyeksi garis potong hiperboloida dan bidang singgung tersebut, pada salah satu bidang koordinat yang tidak tegak lurus bidang singgung. Bila proyeksi tersebut nyata maka hiperboloida itu adalah hiperboloida daun satu. Bila proyeksinya khayal, maka hiperboloida daun 50Selidiki jenis konikoida x2 – 2xy + 2xz – 4yz – 2y + 2z = 0Penyelesaian 1 −1 1 0Matriks [A, b] = [−1 0 −2 −1] H31-2 1 −2 0 1 1 −1 1 0= [−1 0 −2 −1] H32-1 −1 0 −2 1 1 −1 1 0= [−1 0 −2 −1] 0 0 01Rank A = 2, rank [A, b] = 3Tidak ada titik pusat. Termasuk golongan B, paraboloida. Untuk membedakan apakah paraboloidaeliptik atau hiperbolik, diselidiki kerucut arahnya yang berubah corak.KA x2 – 2xy + 2xz – 4yz = 0. Iris dengan bidang z = 1 → z = 1x2 – 2xy + 2x – 4y = 0, kita selidiki irisannyaD = −11 −01 = −1 < 0, karena KA nyata maka konikoida tersebut berbentuk paraboloida Latihan1. Tentukan persamaan bidang singgung konikoida 7x2 – 3y2 – z2 + 21 = 0 yang melalui garis 7x – 6y + 9 = 0, z = 3 JawabGeometri Analitik Ruang 96 7x – 6y – 4z + 21 = 0 serta 7x – 6y − 1 + 10 1 = 0 2 22. Tentukan persamaan bidang singgung konikoida 4x2 – 5y2 + 7x2 + 13 = 0 yang sejajar bidang 4x + 20y – 21z = 0. Jawab 4x + 20y – 21z = ±133. Tentukan persamaan bidang-bidang yang melalui garis 7x + 10y – 30 = 0, 5y – 3z = 0 dan menyinggung elipsoida 7x2 + 5y2 + 3z2 = 60. Jawab 7x + 5y + 3z – 30 = 0 serta 14x + 5y + 9z – 60 = 04. Suatu titik P bergerak sedemikian sehingga kerucut selubung elipsoida 2 + 2 + 2 = 1 dengan P 2 2 sebagai puncaknya, diiris oleh bidang z = 0 menurut sebuah lingkaran. Buktikan bahwa TK dari P adalah irisan kerucut x = 0, 2 + 2 = 1 atau y = 0, 2 + 2 = 1 2− 2 2 2− 2 25. Selidiki konikoida berikut a. x2 + y2 + z2 – 2xy – 2z + 1 = 0 2 bidang khayal b. 2z2 + xz – yz – 2z + 2y = 0 silinder hiperbolik c. x – y2x + 3y = z paraboloida hiperbolik d. xy + xz + yz = 1 hiperboloida daun dua e. yz = x kerucut nyata f. 3x2 – 2y2 – z2 + 2y + 2xz – 3yz – 6x – y – 2z + 3 = 0 bidang rata nyata yang berpotongan g. 4x – y – z + 2yz – 8x – 4y + 8z – 2 = 0 paraboloida eliptik

Alexandronf Alexandronf Matematika Sekolah Menengah Pertama terjawab Iklan Iklan james99jamal james99jamal JANGAN LUPA jadikan sebagai jawaban terbaik TETAP SEMANGAT BELAJAR!! Iklan Iklan salsabila7292 salsabila7292 85 dan 74 semoga membantu thank you beribu banget. Iklan Iklan Pertanyaan baru di Matematika buat setiap harinya adalah... Harga 6 meter kain Rp. maka harga 35 meter kain adalah.... ​ luas bangun di samping adalah...​ kak please tolong jawab ini besok dikumpulkan​ Tentukan jumlah g selisih x dan y. X [4 5 6 7 8 9 6 7 2] Y [ 2 4 3 0 1 2 4 1] Berapa nilai × jika terdapat persamaan 2× +5=3×+2? Sebelumnya Berikutnya Iklan

44 Ketiga titik pusat lingkaran adalah berbeda tetapi terletak pada satu garis. Dua lingkaran pada gambar menyinggung tali busur AB yang panjangnya 4, tentukan luas yang diarsir. 45. Tentukan jarak titik pusat lingkaran luar dan lingkaran dalam suatu segitiga yang panjang sisi-sisinya adalah 6, 8, dan 10. 46. Jika 0 1 1 1 = + + c b a

Bilangan yang tepat untuk mengisi titik-titik pada barisan bilangan 100, 92, ..., 79, ..., 70 adalah… 1. Bilangan yang tepat untuk mengisi titik-titik pada barisan bilangan 100, 92, ..., 79, ..., 70 adalah… 2. dua bilangan yang tepat untuk mengisi titik – titik pada pola barisan bilangan 100, 92, …, 79,….,70 adalah​ 3. 100,92,.......,79,........., 70, yang tepat untuk titik titik adalah 4. 100 , 92 , .... , 79 , .... , 70 ​ 5. Isilah titik titik berikut agar membentuk suatu pola barisan bilangan! A. 4, 10, ..., ..., 28, 34, 40B. 100, 92, ..., 76, ..., 60, 52 6. isilah titik² berikut agar membentuk suatu pola barisan 92, ..., 76, ..., 56, 48​​ 7. Isilah titik-titik berikut agar membentuk suatu pola bilangan !100, ..., 94, 91, ..., 85, 82, 79​ 8. Isilah titik titik berikut agar membentuk suatu pola bilangan a. 4, 10, ..., ..., 28, 34, 40 b. 100, 92, ..., 76, ..., 56, 48 9. 2/3 .......5/92/3 titik-titik 5/9 ​ 10. Isilah titik titik pada bilangan berikut 100,92,...,79,....,70 11. sebuah unsur memiliki nomor atom 39 dan nomor massa 79 Berapakah jumlah neutronnya titik-titik​ 12. 79 titik 507 ditambah 24 titik 316 pangkat 3 = 13. 1. Terdapat barisan 100, 92, ..., 79, ..., 70 bilangan yang tepat mengisi titik-titik adalah ...A. 85 dan 73C. 84 dan 71B. 84 dan 74D. 85 dan 74​ 14. Isilah titik-titik berikut agar membentuksuatu pola bilangan .A. 100, 92, ..., 76, ..., 56, 48B. 915, ..., 135, 45, 15​ 15. 100,92,...... 79,........., 70yang tepat untuk titik adalah 16. Berapakah nilai titik dari pola bilangan berikut100,92,...,79,...,70 adalah 17. Isilah titik titik pada bilangan berikut 100,92,...,79,....,70 18. suatu barisan aritmatika memiliki rumus UN = 6 n kurangi 92 titik-titik ke-7 adalah​ 19. Pilihlah salah satu jawaban yang benar sesuai dengan pola barisan yang diberikan! 100, 92, …. , 79, …. , 70 20. 2. Isilah titik-titik berikut agar membentuk suatu pola barisan 10, ..., ..., 28, 34, 40b. 100, 92, ..., 76, ..., 56, 48​ 21. Isilah titik berikut agar membentuk suatu pola bilangan 100, 92, ..., 76, ..., 60, 52 22. 100, 92, …, 79, … , 70 23. 100, 92, ..., 79, ..., 70​ 24. 100,92,...,79....,70 dua bilangan untuk mengisi titik tersebut adalah 25. Bilangan yang tepat untuk mengisi titik-titik pada barisan bilangan 100, 92, ..., 79, ..., 70 adalah… 74​ 26. Bilangan yang benar untuk mengisi titik-titik agar terbentuk barisan bilanganpada 100, 92, ..., 76, ..., 60, 52 adalah ....a. 84 dan 68b. 84 dan 70c. 86 dan 68d. 86 dan 70bantu ouh ka..​ 27. perhatikan pola barisan bilangan berikut100,92,..,79,...., membentuk suatu pola barisan bilangan,bilangan yang dapat menggantikan titik titik adalah... 28. Jika jumlah seluruh siswa 92 anak maka jumlah siswa yang suka catur adalah titik-titik anak​ 29. isi lah titik - titik berikut agar membentuk suatu pola barisan bilangan 100, 92, ....., 76, ....., 56, 48​ 30. minus 100 Kurang 99 kurang 98 kurang titik-titik kurang 2 Kurang 1 kurang 0 + 1 + 2 +.. + 79 + 98 + 99​ 1. Bilangan yang tepat untuk mengisi titik-titik pada barisan bilangan 100, 92, ..., 79, ..., 70 adalah… Jawaban100,92,85,79,74,70 dan seterusnya 2. dua bilangan yang tepat untuk mengisi titik – titik pada pola barisan bilangan 100, 92, …, 79,….,70 adalah​ Jawaban85,74Penjelasan dengan langkah-langkahselisihnya berurutan 8,7,6,5 3. 100,92,.......,79,........., 70, yang tepat untuk titik titik adalah Jawab100,92,85,79,74,70dari 100-8=92,92-7=85,85-6=79,79-5=74,74-4=70Semoga membantu ya... Jawaban100, 92 , 85 ,79, 74 ,70Penjelasan dengan langkah-langkah100-8 =92-7=85-6=79-5=74-4=70 dikurangi 100-92=8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1Maaf Kalo Salah 5. Isilah titik titik berikut agar membentuk suatu pola barisan bilangan! A. 4, 10, ..., ..., 28, 34, 40B. 100, 92, ..., 76, ..., 60, 52 A. 4, 10, 16, 22, 28, 34, 40B. 100, 92, 84, 76, 68, 60, 52smoga membantu ^.^a. 16 dan 22b. 84 dan 68 6. isilah titik² berikut agar membentuk suatu pola barisan 92, ..., 76, ..., 56, 48​​ Jawabanjawbannya =84 dan 68 polanya dikurang 8 CMIIWJawaban84titik pertams68 titik keduaPenjelasan dengan langkah-langkahsetia nominal dikurangi 8 seperti 100-8=92 7. Isilah titik-titik berikut agar membentuk suatu pola bilangan !100, ..., 94, 91, ..., 85, 82, 79​ Jawabansetiap angka jarak nya 3 angka setelah itu langsung di tambahkan 3100, ..97 ., 94, 91, .88.., 85, 82, 79Penjelasan dengan langkah-langkahsemoga membantu 8. Isilah titik titik berikut agar membentuk suatu pola bilangan a. 4, 10, ..., ..., 28, 34, 40 b. 100, 92, ..., 76, ..., 56, 48 Jawaban membantu.. 9. 2/3 .......5/92/3 titik-titik 5/9 ​ Jawaban2/3 > 5/9Maaf kalo salahSemoga membantu 10. Isilah titik titik pada bilangan berikut 100,92,...,79,....,70 100 ke 92 = -8 maka 92 - 7 = 85 . 85 - 6 = 79 79 - 5 = 74 74 - 4 = 70 , Barisan bilangannya menjadi 100 , 92 , 85 , 79 , 74 , 70 dengan pola bilangan -8, -7, -6, -5, -4100 92 = 100 - 885 = 92 - 779 = 85 - 674 = 79 - 570 = 74 - 4... diisi85 dan 74 11. sebuah unsur memiliki nomor atom 39 dan nomor massa 79 Berapakah jumlah neutronnya titik-titik​ Menentukan jumlah massa - nomor atom = 79-39 = 40Jadi,jumlah neutron dari sebuah unsur itu adalah membantu.. 12. 79 titik 507 ditambah 24 titik 316 pangkat 3 = 14, membantu ya 13. 1. Terdapat barisan 100, 92, ..., 79, ..., 70 bilangan yang tepat mengisi titik-titik adalah ...A. 85 dan 73C. 84 dan 71B. 84 dan 74D. 85 dan 74​ JawabancPenjelasan dengan langkah-langkahsemoga bisa membantuJawabanPola -8, -7, -6, -5, -4, .....100100 - 8 = 92100 - 8 - 7 = 85100 - 8 - 7 - 6 = 79100 - 8 - 7 - 6 - 5 = 74100 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 = 70.....Jadi jawaban yang tepat yaitu 85 dan 74 D 14. Isilah titik-titik berikut agar membentuksuatu pola bilangan .A. 100, 92, ..., 76, ..., 56, 48B. 915, ..., 135, 45, 15​ JawabPenjelasan dengan langkah-langkahJawabPenjelasan dengan langkah-langkahA. 100, 92, 92-8= 84, 76, 76-8= 68,56, 48B. 2145,915, 915 3 = 305, 135,45,15 15. 100,92,...... 79,........., 70yang tepat untuk titik adalah semoga membantu!!thNks 16. Berapakah nilai titik dari pola bilangan berikut100,92,...,79,...,70 adalah 85 dan 74 semoga membantuJANGAN LUPA jadikan sebagai jawaban terbaik TETAP SEMANGAT BELAJAR!! 17. Isilah titik titik pada bilangan berikut 100,92,...,79,....,70 100,92,85,79,74,7092=100-885=92-779=85-674=79-570=74-4jadikan jawaban terbaik 18. suatu barisan aritmatika memiliki rumus UN = 6 n kurangi 92 titik-titik ke-7 adalah​ U7 = - 92 = 42 - 92 = -50Maaf jika salahSemoga membantu ^_^ 19. Pilihlah salah satu jawaban yang benar sesuai dengan pola barisan yang diberikan! 100, 92, …. , 79, …. , 70 Jawaban100, 92, 85, 79, 74, 70Penjelasan100-8=9292-7=8585-6=7979-5=7474-4=70 20. 2. Isilah titik-titik berikut agar membentuk suatu pola barisan 10, ..., ..., 28, 34, 40b. 100, 92, ..., 76, ..., 56, 48​ a. 4, 10, ..., ..., 28,34,40Pola barisan adalah di tambah suku yang belum dituliskan adalah10+6 = 1616+6 = 22Maka pola barisannya adalah 4, 10, 16, 22, 28, 34, 40b. 100, 92, ..., 76, ..., 56, 48Pola barisannya adalah dikurangi suku yang belum dituliskan adalah92-8 = 8476-8 = 68Nmun bila dilanjutkan akan ditemukan bahwa 68-8 ≠ 56 .sdangkan pada soal suku berikutnya adalah 2 suku terakhirnya adalah 68-8 = 6060-8 = 52Jadi,pola barisan yang tepat adalah 100,92,84,76,68,60,52 21. Isilah titik berikut agar membentuk suatu pola bilangan 100, 92, ..., 76, ..., 60, 52 Jawaban100,92,84,76,68,60,52Langkah langkah52+8=6060+8=6868+8=7676+8=8484+8=9292+8=100PenjelasanSemoga membantu 22. 100, 92, …, 79, … , 70 Jawaban100,92,85,79,74,70Penjelasan dengan langkah-langkah[tex]100 - 8 = 92[/tex][tex]92 - 7 = 85[/tex][tex]85 - 6 = 79[/tex][tex]79 - 5 = 74[/tex][tex]74 - 4 = 70[/tex] beda setiap satu langkah dikurangi 1 23. 100, 92, ..., 79, ..., 70​ Jawaban85,74Penjelasan dengan langkah-langkah100-92=892-85=785-79=679-74=574-70=4semoga membantu 24. 100,92,...,79....,70 dua bilangan untuk mengisi titik tersebut adalah 100 - 8 = 92 - 7 = 85 - 6 = 79 - 5 = 74 - 4= 70jadi, angka yang tepat untuk mengisi titik-titik tersebut ialah 85, 74 25. Bilangan yang tepat untuk mengisi titik-titik pada barisan bilangan 100, 92, ..., 79, ..., 70 adalah… 74​ JawabanC. 84, 71Penjelasan dengan langkah-langkahMaaf kalau salah 26. Bilangan yang benar untuk mengisi titik-titik agar terbentuk barisan bilanganpada 100, 92, ..., 76, ..., 60, 52 adalah ....a. 84 dan 68b. 84 dan 70c. 86 dan 68d. 86 dan 70bantu ouh ka..​ Jawabanc. 86 dan 68Penjelasan dengan langkah-langkahJarak antarbilangan = -892-8 = 8476-8 = 68Jawaban dengan langkah-langkah100-8 92-8 dan seterusnya ya 27. perhatikan pola barisan bilangan berikut100,92,..,79,...., membentuk suatu pola barisan bilangan,bilangan yang dapat menggantikan titik titik adalah... semoga bermanfaat yaa hehe 28. Jika jumlah seluruh siswa 92 anak maka jumlah siswa yang suka catur adalah titik-titik anak​ Jawabansiswa yang suka catur ada 17 orang Penjelasan dengan langkah-langkahKan 92 siswa dikurang 19 orang yng main sepak bola jadi 73, nah 73 dikurang yang suka voli 22 jadi 51, nah 51 ini dikurang yang suka baca puisi 20 anak jadi 31, 31 dikurang yang suka menari jadi 17. Nah kesimpulannya begitu. Semoga bermanfaat ya!!and jadikan jawaban tercerdas ya 29. isi lah titik - titik berikut agar membentuk suatu pola barisan bilangan 100, 92, ....., 76, ....., 56, 48​ Jawaban100,92,84,76,68,56,48 30. minus 100 Kurang 99 kurang 98 kurang titik-titik kurang 2 Kurang 1 kurang 0 + 1 + 2 +.. + 79 + 98 + 99​ -100-99 + 99 = 0-98 + 98 = 0-97 + 97 = 0....-3 + 3 = 0 -2 + 2 = 0-1 + 1 = 0Semuanya nanti hasilnya 0 dan yg tersisa tinggal -100Jawaban = -100

SuhuS dalam derajat Celsius (°C) sama dengan suhu S dalam derajat Fahrenheit (°F) kurang 32, kali 5/9.. S (°C) = (S (°F) - 32) × 5/9. Contoh 1: Konversikan 33 derajat Fahrenheit (°F) ke derajat Celsius (°C). S (°C) = (33°F - 32) × 5/9. S (°C) = 1 × 5/9. S (°C) = 5/9. S (°C) = 0.56. Jadi, 33°F = 0.56°C. Contoh 2: Konversikan 255 derajat Fahrenheit (°F) ke derajat Celsius (°C).

If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website. Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *. e *. estão desbloqueados.

ditentukantitik setimbang dan uji kestabilan titik setimbang. 50 20 160 100 Biru 3 130 70 320 210 hijau. 94 Tabel 4 Nilai Parameter ∗, )=(39.97,2.79,8360614.78,2098.58). Dengan demikian model tersebut stabil asimtotis pada titik setimbang keosistensi.

Translationsin context of "TITIK LAYAN YANG TERSEBAR" in indonesian-english. HERE are many translated example sentences containing "TITIK LAYAN YANG TERSEBAR" - indonesian-english translations and search engine for indonesian translations.

RIVI ALIF RIZAL menerbitkan Teknik Gambar Bangunan jilid 1 Suparno pada 2022-09-28. Bacalah versi online Teknik Gambar Bangunan jilid 1 Suparno tersebut. Download semua halaman 51-100.

Rukyatulhilal akan digelar di 101 lokasi titik di seluruh Indonesia. “Kemenag telah menetapkan 101 lokasi titik rukyatul hilal di seluruh Indonesia. Rukyatul hilal tersebut akan dilaksanakan oleh Kanwil Kementerian Agama dan Kemenag Kabupaten/Kota, bekerja sama dengan Peradilan Agama dan Ormas Islam serta instansi lain, di daerah setempat .